Esta es probablemente una de las entradas más extrañas que escriba dado que no domino con toda la maestria necesaria los temas que pretendo confrontar: los famosos teoremas de Godel y la IA dura. Agradecería inmensamente la notificación de cualquier error que pueda haber cometido al tratar sobre unos temas tan sutiles y complejos.
Los teoremas de Godel básicamente lo que dicen es que no hay forma de demostrar o construir una teoria aritmética que sea a su vez completa y consistente. Completa quiere decir que esta abarque todos los teoremas posibles y consistente que carezca de contradicciones . ¿Lo habré dicho bien? Que la aritmética no este completa no es ningúna sorpresa, son infinidad de libros los que se escriben sobre ellas y los teoremas que aun se siguen publicando y los problemas que aun están pendiente. Pero que se dude de su consistencia debe parecerle bastante raro a cualquiera que haya estudiado como mínimo la matemáticas de bachillerato. ¿No dejo bastante claro que la aritmética no tenía contradicciones?. Esto es apenas una muestra del abismo que hay entre la matemática de los números y la matemáticas abstractas.
¿Es que de verdad hay contradicciones en la aritmética? Ciertamente no las hay en la aritmética que se ve en bachillerato, tampoco en la aritmética en su totalidad. Según algunos matématicos es simple: se ha construido para que para que carezca de contradicciones, para otros se trata de la trascendencia de la verdad. Pero ahora veamos lo que dice la Paradoja de Richard, propuesta por el matématico francés Jules Richard en 1905.
La construcción de la paradoja se basa en asignar un número entero a cada propiedad de los enteros (que es el conjunto de los números aritméticos 1, 2, 3, 4, ....). La paradoja no describe exactamente cómo hacerlo para un idioma en particular ni mucho menos para todos los idomas. Simplemente supone que es posible hacerlo. Y parece completamente razonable: dado el conjunto de todas las definiciones de las propiedades de los enteros estas indudablemente tendrán un orden lexicográfico y por tanto seria posible asignarles un número. De hecho computacionalmente hablando es posible asignarle un número entero a cualquier texto para un idioma en específico, escrito siguiendo cierto formato estricto y codificado en bits. Ese número sera único para ese texto en específico, es decir no habrá otro texto que puede tener un idéntico número. Pero hay un abismo de distancia entre esto y lo que suponía Richard, una de las dificultades es la posibilidad de expresar de muy distintas formas en un mismo idioma las propiedades de los enteros. Por ejemplo: la propiedad de los números primos se puede expresar como: "son aquellos números que únicamentes son divisibles por ellos mismos o la unidad", o de esta forma: "son los números que no tienen divisores exceptuando el 1 y su propia cantidad". Pero dejemos esto de lado y vayamos a la sustancia medular de la paradoja de Richard.
Si cada definición corresponde a un entero puede ocurrir que el número asignado a una propiedad también posea la propiedad que indica la definición. Es algo parecido a lo que ocurre cuando decimos la palabra "palabra" es una palabra. Por ejemplo si la propiedad de "número primo" corresponde al número 23 evidentemente ese número tiene esa propiedad. Desde luego la mayor parte de los números no estarán correlacionados con la propiedad que describen, pero aun así puede que haber infinidad de propiedades correlacionadas con sus números. Notése que algunas propiedades pueden ser triviales como la de "los números divisibles por 3", luego no debería ser difícil intuir que hay infinitas propiedades tantas como números naturales . Basándonos en estas observaciones se puede definir la propiedad de ser "richardiano" como la de "aquellos números enteros que no están correlacionados con la propiedad que describe su definición". Pero al hacer ese enunciado este necesaria y fatalmente tendrá que estar númerado por algún preciso, determinado y único número entero. Luego surge la pregunta de la correlación del enunciado con el número que lo identifica ¿es richardiano ese número?. Según nuestra definición el número será richardiano si y solo si no esta correlacionado con su propiedad. Pero como bien sabemos si posee la propiedad de ser richardiano. Por tanto sera richardiano si no posee la propiedad de ser richardiano. Sera richardiano si no es richardiano. De hecho el "sera" es artificial, se trata de que es richardiano si no es richardiano. Una contradicción completa y redonda y absolutamente inesperada. ¿Cómo fue posible que nos extraviaramos así?!!!.
Ahora el razonamiento de Richard formalmente hablando es una falacia. El errror esta en las premisas de las cuales partimos, suponer que se pueden númerar las propiedades de los números enteros empleando el lenguaje natural, cuyas dificultades observamos, y no hacer ninguna diferenciación entre lenguaje y metalenguaje matemático ¿es esto un alivio?. La demostración de Godel, posterior a esta falacia, de hecho utiliza una construcción parecida a la construcción de Richard pero todavía más compleja, precisa, aguda y certeramente ingeniosa. Lo que Godel númera no son las propiedades de los números enteros, son las propias demostraciones aritméticas, es decir su propia columna vertebral, a esos números se les llama números de Godel. Aun tratándose de demostraciones triviales son astronómicos.
Godel logró llegar a una contradicción de autoreferencia como la que se construyó en la paradoja de Richard, reflejando el metalenguaje matématico en su númeración y lo hizo utilizando una lógica formal, nada de lenguaje natural. Lo que logró demotrar como se dijo al inicio es que la aritmética si es consistente no es completa (1er teorema), si es consistente entonces no puede demostrar su propia consistencia (2do teorema).
Esto tuvo importantes consecuencia en el mundo de la computación. Las primeras de esas consecuencias fue la indecibilidad del problema de parada de Turing. Pero la resonancia más tremenda del trabajo del Godel ha sido en el campo de la IA dura y el trabajo que tal vez más se ha hecho eco de esto ha sigo el libro "La Nueva Mente del Emperador" de Roger Penrose.
La IA lo que postula es que la inteligencia humana es algoritmica y por tanto simulable y mejorable mendiante el computador. Muchos intuyen y otros creen que los teoremas de Godel refutan semejante aseveración. El razonamiento parece ser el siguiente:
- Si la inteligencia humana es algorítmica entonces la aritmética también lo es.
- Si la aritmética es algorítmica entonces hay una teoria completa y consistente de la misma: el propio algoritmo que hace aritmética seria esa teoria.
- No hay una teoria completa y consistente de la aritmetica (demostrado por los teoremas de Godel)
- Por tanto la aritmética no es algorítmica
- Luego la inteligencia humana tampoco es algorítmica.
Todo ese mundo fantástico y platónico de las matématicas, no simplemente lo hemos creado, así lo cree Roger Penrose: lo hemos visto. La mente humana posee una facultades y una propiedades aun insospechadas para ella misma, Roger Penrose, intuye unas leyes físicas no descubiertas que la rigen. El problema con las máquinas, con las computadoras que tenemos actualmente, es que son esencialmente ciegas.
Los teoremas de Godel, aunque muchos aun todavía no se hayan percatado del todo, parecerían poner el a la IA dura al mismo nivel al que fueron relegada la física que buscaba el movimiento perpetúo en siglos pasados. ¿Será ese realmente el destino de la IA dura? El movimiento continuo era, para algunos, al igual como la sentencia indecidible de Godel, algo así como una serpiente que se muerde la cola, quiero decir que se basaba en suponer la existencia de un movimiento que se retroalimentara asi mismo demanera que nunca se detuviese, permitiendo generar una energía constante en el tiempo, contradicciendo el principo de conservación de la energía.
Pero en lo personal no veo así de claro la decandencia de la IA dura. Lo cierto es que si ha dado muchos resultados, llevándole en eso una gran ventaja a los físicos que buscaban la quimera del movimiento perpetúo. Máquinas que juegan el ajedrez mejor que un campeón mundial, que reconocen imágenes y rostros, que reconcen las voz humana .... No estoy en contra de la idea de la IA dura, reconozco sus logros y los aprecio, deseo que esos avances continúen .... incluso hasta me atrevería a investigar a ver si doy también con algo (RISAS). Pero la gente que desea ser como una máquina o convertirse en un robot o unos bits inmortales ciberespaciales, como Kurzweil, quienes creen que el hombre quedara obsoleto, esa clase de ciberpunk y transhumanos, simplemente me abruman. A duras penas puedo comprender semejante anhelo. En primer lugar porque aunque me entusiasme la IA dura soy muy escéptico en cuanto a que las computadoras puedan superar la inteligencia humana. En segundo lugar porque aun asumiendo que lo lograsen, no me parece tentador transformarme en una de ellas. Me parece hasta cierto punto que es como renunciar por completo a asumir o descubrir el propósito de la vida humana. ¿Cuál propósito?. Solo lo intuyó, ¿es gracias al espíritu o es estupidez?.
Me he alejado del titulo de la entrada pero creo que era necesario.
Referencias:
[1] Jeff Makey. "Gödel's Incompleteness Theorem is Not an Obstacle to Artificial Intelligence".
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